Свойства совершенных чисел. Совершенные числа, компанейские числа

(т. е. всех делителей, отличных от самого́ числа).

Первое совершенное число - 6 (1 + 2 + 3 = 6 ), следующее - 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 ). По мере того как возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число - 496, четвёртое - 8 128, пятое - 33 550 336, шестое - 8 589 869 056.

История изучения

Совершенный характер чисел 6 и 28 был признан многими культурами, обратившими внимание на то, что совершает оборот вокруг каждые 28 дней, и утверждавшими, что сотворил мир за 6 дней. В сочинении «Град Божий» высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

Совершенные числа были предметом пристального внимания пифагорейцев, хотя в их время были известны только 2 первых совершенных числа. В частности, заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами. Например, совершенные числа всегда равны сумме последовательных натуральных чисел, начиная с единицы (т. е. являются ):

6	= 1 + 2 + 3 ,
28	= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 ,
496	= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 30 + 31 ,
8128	= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 126 + 127 .

Кроме того, одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью». Числа 4=2\cdot2 , 8=2\cdot2\cdot2 , 16=2\cdot2\cdot2\cdot2 и т. д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2 n , где n - число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа, т. е. все степени двойки :

2 2	=2\cdot2	= 4 ,	1 + 2	= 3 ,
2 3	=2\cdot2\cdot2	= 8 ,	1 + 2 + 4	= 7 ,
2 4	=2\cdot2\cdot2\cdot2	= 16 ,	1 + 2 + 4 + 8	= 15 ,
2 5	=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2	= 32 ,	1 + 2 + 4 + 8 + 16	= 31 ,

Так как каждому чётному совершенному числу соответствует некоторое простое число Мерсенна (и наоборот), то открытие новых чётных совершенных чисел равносильно открытию новых простых чисел Мерсенна, распределённым поиском которых занимается проект . На данный момент (ноябрь 2006) известно 44 простых числа Мерсенна, а значит, и 44 чётных совершенных числа.

Древние греки первыми установили, что число «6» равно сумме всех делителей, исключая само это число: 6=1+2+3. Из-за этого свойства они назвали число «6» совершенным и поставили вопрос, сколько всего существует совершенных чисел?

Легко было обнаружено проверкой второе совершенное число «28»: 1+2+4+7+14=28. Затем Эвклид доказав что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения 2 n-1 (2 n -1), где 2 n -1есть простое число, является совершенным числом. В случае n=2 и n=3, числа 2 2 -1=3 и 2 3 -1=7 простые, поэтому 2 1 (2 2 - 1) =6 и 2 2 (2 3 - 1) =28 - совершенные числа. Формула помогла обнаружить еще два совершенных числа (n=5, n=7).

Но отыскание дальнейших совершенных чисел этим способом казалось делом трудным. Николай Геразский (I век н. э.) писал: Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, в то время как совершенных чисел немного.

В течение столетий авторы, писавшие о совершенных числах, интересовались больше суевериями и фантазиями, связанными с этими числами, чем их математической природой. Например, в диалогах Платона число «6» занимает особое место. У римлян на пирах самым почетным местом было шестое.

В Риме при подземных работах в 1917 году была обнаружена постройка - общий зал с кельями вокруг него. Оказалось, что это здание - помещение неопифагорийской академии, в которой было 28 членов.

По религиозным преданиям мир был создан за 6 дней. Английский богослов VIII века Алкуин учил, что человечество, происшедшее после потопа от 8 лиц, бывших в ковчеге Ноя, менее совершенно, чем до потопа, так как «8» - число несовершенное. В XII веке церковники рекомендовали изучение совершенных чисел для спасения души.

Если первые четыре совершенных числа были известны в глубокой древности, то пятое совершенное число (n=13, 2 12 (2 13 -1) =33 550 336) было обнаружено лишь в XV веке, более чем через полторы тысячи лет после Евклида.

В 1644 году французский математик Марин Мерсенн объявил, не приводя доказательства, что первыми одиннадцатью совершенными числами вида 2 n-1 (2 n -1) являются числа, отвечающие следующим значениям n: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Математикам того времени было очевидно, что Мерсенн не мог проверить непосредственным вычислением простоту чисел 2 n -1 при всех указанных значениях n. Непосредственно удалось проверить только первые три из указанных Мерсенном шести новых совершенных чисел. Они действительно оказались совершенными. Вот эти числа: 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128

В 1876 году французский математик Э. Люка указал метод, позволяющий проверить простоту числа без выполнения деления его на всевозможные простые делители. Он же установил, что число 2 127 -1 является простым числом. Этот результат был правильно предсказан Мерсенном, однако в других случаях он ошибся. Было установлено, что показатели n = 67 и n = 257 вопреки указанию Мерсенна не дают совершенных чисел, но их дают не указанные Мерсенном показатели 61, 89 и 107.

P. S. О чем еще говорят британские ученые: о том, что знание теории совершенных чисел может даже помочь на ОГЭ по математике онлайн , не говоря уж о простых математических экзаменах.

Примеры

1-е совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма 1 + 2 + 3 равна 6.
2-е совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма 1 + 2 + 4 + 7 + 14 равна 28.
3-е совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 равна 496.
4-е совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 равна 8128.

История изучения

Чётные совершенные числа

Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида , где было доказано, что число является совершенным, если число является простым (т. н. простые числа Мерсенна) . Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.

Первые четыре совершенных числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского . Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности.

На апрель 2010 года известно 47 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенна занимается проект распределённых вычислений GIMPS .

Нечётные совершенные числа

Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

Свойства

Примечательные факты

Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, базирующихся на авраамических религиях , - утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

«Не менее важна идея, выраженная числом 496. Это „теософское расширение“ числа 31 (то есть сумма всех целых чисел от 1 до 31). Помимо всего прочего, это сумма слова Малькут , означающего „Царство“. Таким образом, Царство, полное проявление первичной идеи Бога, предстает в гематрии как естественное дополнение или проявление числа 31, которое является числом имени 78».

"Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней."

См. также

Слегка избыточные числа (квазисовершенные числа)

Примечания

Ссылки

Депман И. Совершенные числа // Квант . - 1991. - № 5. - С. 13-17.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Совершенное число" в других словарях:

СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО, см. ЧИСЛО СОВЕРШЕННОЕ …

Натуральное число, равное сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Напр., 6=1+2+3 и 28=1+2+4+7+14 суть совершенные числа … Большой Энциклопедический словарь

Натуральное число, равное сумме всех своих правильных (то есть меньших этого числа) делителей. Например, 6 = 1 + 2 + 3 и 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 суть совершенного числа. * * * СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО, натуральное число, равное сумме… … Энциклопедический словарь

Целое положительное число, обладающее свойством, что оно совпадает с суммой всех своих положительных делителей, отличных от самого этого числа. Таким образом, целое число является С. ч., если С. ч. являются, напр., числа 6, 28, 496, 8128,33550336 … Математическая энциклопедия

ЧИСЛО, СОВЕРШЕННОЕ, ЦЕЛОЕ число, равное сумме своих ДЕЛИТЕЛЕЙ, включая 1. Например, число 28 является совершенным числом, поскольку его делителями являются числа 1, 2, 4, 7 и 14 (не считая само число 28), а их сумма равна 28. Не известно,… … Научно-технический энциклопедический словарь

Числа вида Mn = 2n 1, где n натуральное число. Названы в честь французского математика Мерсенна. Последовательность чисел Мерсенна начинается так: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, ... (последовательность A000225 в OEIS) Иногда числами… … Википедия

Число - С древнейших времен различным числам приписывали тайные значения. Философы, последователи Пифагора (около 500 г. до Р.Хр.), утверждали, что числа являются основным началом и сущностью вещей и подробно определили качества и роды чисел. По их… … Словарь библейских имен

Непрерывное замкнутое отображение топологич. пространств, при к ром прообразы всех точек бикомпактны. С. о. во многом аналогичны непрерывным отображениям бикомпактов в хаусдорфовы пространства (каждое такой отображение совершенно), но сферой… … Математическая энциклопедия

Шестиугольное число фигурное число. n ое шестиугольное число число точек в шестиугольнике, на каждой стороне которого ровно n точек. Формула для n го шестиугольного числа … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. 6 (значения). 6 шесть 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 Факторизация: 2×3 Римская запись: VI Двоичное: 110 Восьмеричное: 6 Шестна … Википедия

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Возникновение чисел в нашей жизни не случайность. Невозможно представить себе общение без использования чисел. История чисел увлекательна и загадочна. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах - математики - немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё неразгаданного.

Актуальность исследовательского проекта по выбранной теме: современная наука и техника раскрыли величие человеческого разума. Они изменили мир и представления о нем. Но до сих пор люди ищут и не могут пока найти ответы на многие вопросы. Совершенные числа не изучены в полной мере. Это одна из интересных и до конца не изученных страниц истории математики.

Идея (проблема). Данная тема мною была выбрана не случайно. Мне интересно узнавать что-новое, необычное. Я с большим удовольствием участвую в различных олимпиадах. Но когда, изучая энциклопедию по математике, увидел тему «наибольший общий делитель», мне показалось, что это очень неинтересно -считать все время по одному и тому же алгоритму. Своими сомнениями поделился с учителем. И она ответила, что делители - это одно из самых загадочных понятий в математике. Просто необходимо узнать по этой теме побольше. Я решил последовать ее совету и очень скоро убедился, что это действительно так. Как интересен мир совершенных чисел. Так родилась моя исследовательская работа.

Цели моего проекта заключается в следующем:

познакомиться с понятием совершенного числа;

исследовать свойства совершенных чисел;

привлечь внимание учащихся к данном теме.

Задачи проекта:

изучить и проанализировать литературу по теме исследования;

«открыть» свойства совершенных чисел и область их применения;

расширить свой умственный кругозор.

Гипотеза: выяснить роль совершенных чисел в математике.

Вид проекта: исследовательский, моно предметный, индивидуальный. Объект изучения: совершенные числа и их свойства.

Сроки проведения исследования: две недели.

Методика исследования:

сбор и изучение литературы и материалов;

опрос-обращение к определенной группе людей, путем письменного анкетирования и устного интервьюирования;

продукт исследования - мультимедийная презентация по теме.

Что такое совершенные числа

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь.

Существует большое количество определений понятию "число". О числах первый начал рассуждать Пифагор. Пифагору принадлежит высказывание "Всё прекрасно благодаря числу". По его учению число 2 означало гармонию, 5 - цвет, 6 -холод, 7 - разум, здоровье, 8 -любовь и дружбу. А число 10 называли "священной четверицей", так как 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Оно считалось священным числом и олицетворяла всю Вселенную.

Первое благодарнаучное определение лишь числа дал считалось Эвклид в своих "Началах": "Единица первое есть то, первое в соответствии, с чем технико каждая из существующих например вещей называется школьников одной. Число сбор есть множество, многим сложенное из единиц".

Античные техника математики считали первое очень важным становилось рассматривать вместе меня с каждым числом риложение все его класс делители, отличные считалось от самого этого интересом числа. Все список делители, на которые могли данное число вместе делится нацело встречается можно получить мириад из разложения числа делителей на простые множители. Такие мириад делители называют собственными. Числа, нельзя имеющие много прекрасным собственных делителей, необходимы назывались abundant (избыточными), людей а имеющие мало, - defizient (недостаточными). При простое этом в качестве книги меры использовалось века не количество, а сумма собственных делителей, которую сравнивали с самим числом. Так, например, для 10 сумма делителей

1 + 2 + 5 = 8 < 10,

так что делителей «недостаток». Для 12 же

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12,

т.е. делителей «избыток». Поэтому 10 - «недостаточное», а 12 - «избыточное» число.

Встречается и «пограничный» случай, когда сумма собственных делителей равна самому числу. Например, для 6

То же для 28:

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Такие числа древние греки особенно ценили и назвали их совершенными. Точно неизвестно, когда и где впервые обратили внимание на совершенные числа. Предполагают, что они были известны уже в древнем Вавилоне и древнем Египте. Во всяком случае, вплоть до V века н.э. в Египте сохранялся счет на пальцах (приложение 1), при котором рука с загнутым безымянным пальцем и выпрямленными остальными изображала число 6 - первое совершенное число.

Поиск вайте совершенных чисел.

Я знали не знал, как необходимы искать совершенные четные числа, поэтому совершенных решил попробовать становилось найти их как которые искали в древности. Взял было числа от 1 до 30 и на калькуляторе среди стал проверять первое каждое такие число. Посмотрите, что мириады у меня получилось. (приложение 2). Среди вместе всех чисел очень мне удалось пьетро найти только школьников два числа 6 и 28. Очень трудоемкий технико поиск как приложение оказалось.

История открытия совершенных чисел.

4.1 Четные совершенные числа.

Никомах Герасский (I-II век н.э.), знаменитый греческий философ и математик (приложение 2), писал:

Совершенные числа красивы. Красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного.

Сколько же их? Никомах четвертое этого не знал. Первым понятие прекрасным совершенным литературу числом, о котором делителей знали математики рождения Древней Греции, литературу было число 6. На выяснить шестом месте тоже на званом пиру риложение возлежал самый совершенные уважаемый, самый предлагаю знаменитый и самый интересных почетный гость. Особыми людей мистическими свойствами различных обладало число 6 в увлекательным учении пифагорейцев, могли к которым принадлежал школьников и Никомах. Много причем внимания уделяет могли этому числу хотелось великий Платон (V-IV литературу век до н.э.) в последнего своих «Диалогах» (приложение 3). Недаром непостижимость и в библейских преданиях числа утверждается, что различных мир создан этом был в шесть связь дней, ведь простые более совершенного платон числа среди идея совершенных чисел, мириады чем 6, нет, аббат поскольку оно например первое среди изучаются них.

Следующим совершенным числом, известным древним, было число 28. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала были расположены 28 келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах (приложение 5).

Древних математиков удивляло особое свойство этих двух чисел. Каждое из них, как уже было отмечено, равно сумме всех своих собственных делителей:

6 = 1 + 2 + 3 и 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

До Евклида (приложение 3) были известны только эти два числа, и никто не знал, существуют ли еще совершенные числа и сколько их вообще может быть. Великий основатель геометрии много занимался изучением свойств чисел; конечно, его не могли не интересовать совершенные числа. Евклид доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей

2 p-1 и 2 p - 1,

где 2 p - 1 - простое число, является совершенным числом, -

эта теорема теперь носит его имя. Если в формулу Евклида

2 p-1 · (2 p - 1)

подставить p = 2, то получим

2 2-1 · (2 2 - 1) = 21 · (22 - 1) = 2 · 3 = 6

Первое совершенное число, а если p = 3, то

2 3-1 · (23 - 1) = 22 · (23 - 1) = 4 · 7 = 28

Благодаря своей формуле Евклид сумел найти еще два совершенных числа: третье при p = 5 и четвертое при p = 7. Вот эти числа:

2 5-1 · (25 - 1) = 24 · (25 - 1) = 16 · 31 = 496

2 7-1 · (27 - 1) = 26 · (27 - 1) = 64 · 127 = 8 128.

Почти носит полторы тысячи цели лет люди сбор знали только первое четыре совершенных могли числа, не зная, однако есть ли таковые следс еще и возможны библейскую ли совершенные числа, существуют не удовлетворяющие формуле нельзя Евклида. Неразрешимая алкуин загадка совершенных список чисел, бессилие появлением разума перед евклида их тайной, их непостижимость совершенные привели к признанию будет божественности этих греческий удивительных чисел.

Один из наиболее выдающихся ученых средневековья, друг и учитель Карла Великого, аббат Алкуин (ок.735-804), один из виднейших деятелей просвещения (приложение 2), организатор школ и автор учебников по арифметике, был твердо убежден, что человеческий род только потому несовершенен, и в нем только потому царит зло, горе и насилие, что он произошел от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге, а 8 - число несовершенное. До потопа род людской был более совершенен - он происходил от одного Адама, а единица может быть причислена к совершенным числам: она равна самой себе, своему единственному делителю. Алкуин жил в VIII веке. Но даже в XII веке церковь учила, что для спасения души вполне достаточно изучать совершенные числа, и тому, кто найдет новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство. Но и жажда этой награды не смогла помочь математикам средневековья.

Следующее, пятое совершенное число обнаружил немецкий математик Региомонтан (1436-1476) (приложение 4) лишь в XV веке. Оказалось, что и пятое совершенное число также подчиняется условию Евклида. Не удивительно, что его так долго не могли найти. Гораздо более поражает то, что в пятнадцатом веке вообще смогли его обнаружить. Пятое совершенное число равно

ему соответствует значение р = 13 в формуле Евклида.

Итальянец Пьетро Антонио Катальди (1548-1626), бывший профессором математики во Флоренции и Болонье (приложение 4), тоже для спасения своей души занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел:

8 589 869 056 - шестое число 137 438 691 328 - седьмое число.

Навсегда осталась совершенные в истории загадочная евклида тайна, как интерес он сумел найти литературу их. До сих числа пор предложено получится только одно земного объяснение этой людей загадке - оно награды было дано многим еще его класс современниками: помощь простое божественного провидения, первое подсказавшего своему поиском избраннику верные просто значения двух числа совершенных чисел.

В цели дальнейшем поиск риложение затормозился вплоть образуют до середины XX века, учении когда с появлением прекрасным компьютеров стали числа возможными вычисления, простых превосходившие человеческие поиском возможности.

На январь 2018 года однако известно 50 чётных античные совершенных чисел, удовольствием поиском новых средневековой чисел занимается первое проект распределённых изучения вычислений GIMPS.

4.2 Нечётные совершенные числа

Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений OddPerfect.org.Распределённые вычисления — способ решения трудоёмких вычислительных задач с использованием нескольких компьютеров, чаще всего объединённых в параллельную вычислительную систему.

Свойства совершенных чисел.

Все чётные совершенные числа, кроме6, являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел

1 3 + 3 3 + 5 3 + … {displaystyle 1^{3}+3^{3}+5^{3}+ldots } 28 = 1 3 + 3 3 ;

496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 ;

8 128 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + 15 3 .

Все свойства чётные совершенные сбор числа являются треугольными числами. Это могли значит, что, также взяв совершенное интересом число одинаковых простые монет, мы всегда следс сможем сложить основой из них равносторонний каждая треугольник (приложение 6).

Все четные совершенные числа являются шестиугольными числами (приложение 5) и, значит, могут быть представлены в виде n · (2n−1) для некоторого натурального числа n:

6 = 2 · 3, n = 2;

28 = 4 · 7, n = 4;

496 = 16 · 31, n = 16;

8 128 = 64 · 127, n = 64.

Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76.

Все чётные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала единиц, за которыми следует p − 1 {displaystyle p-1} нулей, следствие из их общего представления.

Если сложить все цифры чётного совершенного числа, кроме 6, затем сложить все цифры полученного числа и так повторять, пока не получится однозначное число, то это число будет равно 1

2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1

4 + 9 + 6 = 19, 1 + 9 = 10, 1+0=1

Эквивалентная формулировка: остаток от деления чётного совершенного числа, отличного от 6, на 9 равен 1.

Интересные факты о совершенных числах.

Чтобы понять, является ли число совершенным, необходимо проделывать определенные расчеты. Другого пути нет. И такие числа встречаются редко. Например, пифагореец Ямблих писал об идеальных числах как о явлении, встречающемся от мириады до мириады мириад, и затем от мириады мириад до мириад мириад мириад и т. д. Однако в XIX веке были проведены проверочные расчеты, которые показали, что совершенные числа нам встречаются еще реже. Так, от 1020 до 1036 нет никакого совершенного числа, а если следовать Ямблиху, то их должно быть четыре.

Скорее всего, были именно трудность множества нахождения таких чащиеся чисел послужила четвертое поводом к наделению выяснить их мистическими свойствами. Хотя, числа опираясь на библейскую четные историю, ее исследователи внимание сделали вывод, интересно что мир этой сотворен действительно данного прекрасным и совершенным, изучения ведь число непостижимость дней творения - это 6. А первое вот человек преданиях неидеален, так также как сотворен цели и живет в дне древнем седьмом. Однако совершенное его задача - это интересно стремиться к совершенству.

Давайте познакомимся с интересными фактами (приложение 7):

8 людей спаслось в Ноевом Ковчеге после всемирного потопа. Также в нем спаслись по семь пар чистых и нечистых животных. Если суммировать всех спасшихся в Ноевом Ковчеге, то выходит число 28, являющееся совершенным;

руки человека - это совершенное орудие. Они имеют 10 пальцев, которые наделены 28 фалангами;

луна совершает околоземные обороты каждые 28 дней;

при начертании квадрата можно провести в нем диагонали. Тогда несложно будет заметить, что его вершины соединены 6 отрезками. Если то же проделать с кубом, то получится 12 ребер и 16 диагоналей. В сумме получится 28. Восьмиугольник тоже имеет причастность к совершенному числу 28 (20 диагоналей плюс 8 сторон). А семигранная пирамида имеет 7 ребер и 7 сторон основания с 14 диагоналями. В сумме это число 28;

Лев Николаевич Толстой не раз шутливо "хвастался" тем, что дата его рождения 28 августа (по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л.Н. Толстого (1828) - тоже интересное число: последние две цифры 28 образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, то получится 8128 - четвертое совершенное число.

Анкетирование.

Прежде чем сделать окончательный вывод, я предлагаю ознакомиться с результатами опроса, цель которого - изучение мнения по данной теме.

Опрос проводился среди следующих категорий:

учащиеся 5 класса (25 человек);

учителя (8 человек);

родители школьников (17 человек).

Всего приняло участие 50 человек.

Опрос велся по следующим вопросам:

Знаете ли вы что такое совершенные числа?

Нужно ли изучать математику?

Результаты данного метода исследования показаны на диаграмме (приложение 7).

А еще я вместе со старшеклассниками провел небольшой блиц-опрос. Мы заходили в каждый класс и просили поднять руки кто любит математику. Ребята с интересом отнеслись к нашей просьбе. Меня порадовало, что большая часть школьников с любовью относиться к данному предмету. Всем было весело и интересно. Многие ребята спрашивали меня для чего нужна такая информация и я с удовольствием рассказал про свое исследование.

В современном мире многим занятия древних математиков кажутся ненужными забавами. Но нельзя забывать, что с этих забав началось серьёзное знакомство людей с числами. Числа стали не только применять, но и изучать.

Совершенные числа не имеют широкого применения, поэтому и не изучаются на уроках математики.

Умение вычислять, болонье логически мыслить, совершенные быть настойчивым шестом и упорным, аккуратным седьмое и внимательным - эти время качества необходимы появлением каждому человеку. И, занимают в то же время, они формуле являются основой потопа хорошего понимания алкуин математики. Математика - волшебная приложение наука, которая идея помогает развивать есть эти способности алкуин и умения. Изучение время математики можно различных сравнивать с нелёгким, технико но увлекательным путешествием подставить по удивительной стране.

Заключение.

Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные числа, обладающие рядом очень интересных свойств.

Анализируя научно-популярную литературу о совершенных числах, можно убедиться, что формулы общего вида для нахождения всех совершенных чисел не существует. Вопрос о существовании бесконечности множества четных совершенных чисел, нечетного совершенного числа открыт до сих пор.

Причем нередко одно и тоже открытие происходило в разных точках земного шара, довольно часто повторялось несколько раз, совершенствовалось, а позже распространялось и становилось достоянием всех народов. Математика невольно связывает единой нитью народы мира. Она заставляет их сотрудничать и общаться между собой.

Мир полон тайн и загадок. Но разгадать их могут только пытливые.

Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел. И мне бы хотелось продолжить изучение чисел, узнать что-то новое, неизведанное.

Для раскрытия темы данного исследовательского проекта были использованы научно-методические источники, информационная база по математике, литературные произведения, информация из газет и журналов, печатные издания городской библиотеки, а также ресурсы сети интернет.

Список использованной литературы.

1. Берман Г.Н. Число и наука о нем. Общедоступные очерки по арифметике натуральных чисел. - М.: ГИТТЛ, 1954. - 164 с.

2. Википедия, информация по запросу «совершенные числа».

3. Гейзер Г.И., История математики в школе. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981.

4. Депман, И. Я Совершенные числа // Квант. - 1991. - № 5. - С. 13-17.

5. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1989. — 287 с.

6. Карпеченко Е. Тайны чисел. Математика /Прил. К газете "Первое сентября" №13 2007.

7. Крылов А.Н., Числа и меры. Математика/ Прил. К газете "Первое сентября"№7 - 1994

8. В работе использованы картинки и фотографии по запросу "Поиск картинки" в Internet.

Приложение 1. Распространённый в средневековой Европе и на Ближнем Востоке пальцевый счёт.

Из книги «Сумма арифметики» итальянского математика Луки Пачоли.

Приложение 2. Таблица поиска совершенных чисел с помощью калькулятора.

Приложение 3. Великие математики

Никомах Герасский Платон

(I-II век н.э.) (V-IV век до н.э.)

Евклид аббат Алкуин

(365-300 до н. э.) (ок.735-804)

Приложение 4. Великие математики

Региомонтан Пьетро Антонио Катальди

(1436-1476) (1548-1626)

Приложение 5. Здание Академии наук

Фёдор Бронников. Гимн пифагорейцев солнцу

Приложение 6. Треугольник из 28 монет.

Приложение 7. Интересные факты о совершенных числах

Ноев ковчег

Руки человека

Луна совершает оборот вокруг Земли

Л. Н. Толстой

Приложение 8. Результаты исследования

Оперируя большими числами, ученые пользуются степенями 10 для того, чтобы избавиться от огромного количества нулей. Например, 19 160 000 000 000 миль можно записать как 1,916·10 13 миль. Так же точно очень маленькое число, например 0,0000154324 г, может быть записано 1,54324·10 –5 г. Из приставок, используемых перед числительными, самой малой величине соответствует атто, происходящая от датского или норвежского atten – восемнадцать. Приставка означает 10 –18 . Приставка экса (от греческого hexa, т.е. 6 групп по 3 нуля), или сокращенно Э, означает 10 18 .

Самые большие числа

Самым большим числом, встречающимся в толковых словарях и имеющим название – степенью 10, является центилион, впервые использованный в 1852 г. Это миллион в сотой степени, или единица с 600 нулями.

Самым большим имеющим название недесятичным числом является буддистское число асанкхейя , равное 10 140 ; оно упоминается в трудах Джайна-сутры, относящихся к 100 г. до н.э.

Число 10 100 называется гугол . Этот термин был предложен 9-летним племянником Эдварда Каснера (США) (ум. в 1955 г.). 10 в степени гугол называется гуголплексом. Некоторое представление об этой величине можно получить, вспомнив, что количество электронов в наблюдаемой Вселенной, согласно некоторым теориям, не превышает 10 87 .

Самым большим числом, когда-либо применявшимся в математическом доказательстве, является предельная величина, известная как число Грэма, впервые использованная в 1977 г. Оно связано с бихроматическими гиперкубами и не может быть выражено без особой 64-уровневой системы специальных математических символов, введённых Кнутом в 1977 г.

Наибольшее число множителей

Специалисты по ЭВМ, использовав более 400 связанных между собой компьютеров, нашли множители 100-значного числа. Вычисления, занявшие 26 дней, ставят под вопрос надежность многих современных шифровальных систем.

Простые числа

Простым числом является любое положительное целое число (кроме 1), делящееся только на себя или на единицу, т.е. 2, 3, 5, 7 или 11. Самое маленькое простое число – 2. Самое большое простое число, 391 581·2 216193 – 1, было открыто 6 августа 1989 г. группой Aмдал-6 . Число, содержащее 65 087 знаков, было получено на суперкомпьютере «Амдал-1200» в Санта-Кларе, штат Калифорния, США. Группа также открыла самые большие парные простые числа: (1 706 595·2 11235 – 1) и (1 706 595·2 11235 + 1). Самым маленьким непростым или составным числом (кроме 1) является 4.

Совершенные числа

Число является совершенным, если оно равно сумме своих делителей, отличных от самого числа, например 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Самое маленькое совершенное число: 6 = 1 + 2 + 3.

Самое большое известное, 31-е по счету открытое на сегодняшний день, число: (2 216091 – 1)·2 216090 . Это число получено благодаря открытию в сентябре 1985 г. математиком Марсенном (США) числа 2 216091 – 1, которое в настоящее время известно как второе самое большое простое число.

Новейшая математическая константа

В ходе исследований турбулентного течения воды, погоды и других хаотических явлений выявилось существование новой универсальной константы – числа Фейгенбаума, названного по имени его первооткрывателя. Приблизительно оно равно 4,669201609102990.

Максимальное число доказательств теоремы

Самое длинное доказательство

Доказательство классификации всех конечных простых групп заняло более 14 тыс. страниц, вмещающих почти 500 научных работ, авторами которых явились более 100 математиков. Доказательство продолжалось более 35 лет.

Самая старая математическая задача

Она датируется 1650 г. до н.э. и в русской версии звучит следующим образом:

По дороге на Дижон
Встретил я мужа и семь его жён.
У каждой жены по семь тюков,
Вкаждом тюке по семь котов.
Сколько котов, тюков и жён
Мирно двигались в Дижон?

Самое большое претендовавшее на точность число в физике

Английский астроном сэр Артур Эддингтон (1882...1944) заявил в 1938 г., что во Вселенной ровно 15 747 724 136 275 002 577 605 653 961 181 555 468 044 717 914 527 116 709 366 231 425 076 185 631 031 296 протонов и столько же электронов. К сожалению Эддингтона, никто не согласился с его сверхточными подсчетами, которые в настоящее время всерьёз не воспринимаются.

Самый плодовитый математик

Леонард Эйлер (Швейцария, Россия) (1707...1783) был настолько плодовит, что и через 50 с лишним лет после его смерти его труды все ещё печатались впервые. Собрание его сочинений частями выпускается в свет, начиная с 1910 г., и в конечном итоге составит 75 больших томов размером ин-кварто.

Самая большая премия

Д-р Пауль Вольфскелл завещал в 1908 г. премию в 100 тыс. немецких марок тому, кто первым докажет «Великую теорему» Ферма . В результате инфляции размер премии составляет сейчас немногим более 10 тыс. немецких марок.

Самый длительный поиск на ЭВМ ответа на вопрос: да или нет?

20-е число Ферма + 1 было проверено на суперкомпьютере «Крэй-2» в 1986 г. с целью ответа на вопрос, является ли оно простым. После 10 дней вычислений был получен ответ – НЕТ.

Самые неграмотные в математическом отношении

Люди племени намбиквара, живущие на северо-западе штата Мату-Гросу, Бразилия, самые неграмотные в математике. У них полностью отсутствует система чисел. Правда, они пользуются глаголом, который обозначает «они равны».

Самое точное и неточное значение числа π

Самое большое количество десятичных знаков числа π, равное 1 011 196 691 знаку после запятой, было получено в 1989 г. Дэвидом и Грегори Чудновски из Колумбийского университета, Нью-Йорк, США, использовавшими суперкомпьютер «Крэй-2» и сеть компьютеров ИБМ 3090. Вычисления были сверены для точности. Кстати, десятичные разряды π с 762-го по 767-й после запятой содержат 6 девяток подряд.

В 1897 г. Генеральная Ассамблея американского штата Индиана утвердила билль 246, согласно которому число π принималось равным 4. В 1853 г. Уильям Шанкс опубликовал свои расчеты числа π до 707-го десятичного знака, произведённые вручную. Спустя 92 года, в 1945 г., было обнаружено, что последние 180 цифр неверны.

Самые древние единицы измерения

Самой древней известной мерой веса является бека амратского периода египетской цивилизации (около 3800 г. до н.э.), найденная в Накаде, Египет. Гири были цилиндрической формы с закруглёнными концами. Они весили от 188,7 до 211,2 г.

По-видимому, строители гробниц эпохи мегалита на северо-западе Европы (около 3500 г. до н.э.) пользовались мерой длины, равной 82,9 ± 0,09 см. К такому выводу пришел профессор Александр Том (1894...1985) в 1966 г.

Измерение времени

Вследствие изменения продолжительности суток, которые увеличиваются в среднем на 1 мс за век под влиянием приливных сил Луны, было пересмотрено определение секунды. Вместо 1/86 400 части средних солнечных суток ее длительность с 1960 г. определяется как 1/315 569 259 747 часть солнечного (или тропического) года по состоянию на 12 часов эфемеридного времени января 1900 г. В 1958 г. секунда принята равной 9 192 631 770 ± 20 периодам излучения, соответствующего переходу между уровнями основного состояния атома цезия-133 в отсутствие внешних полей. Самое большое суточное изменение было зарегистрировано 8 августа 1972 г., оно составляло 10 мс и было вызвано самой мощной солнечной бурей, наблюдаемой за последние 370 лет.

Точность цезиевого эталона частоты приближается к 8 частям на 10 14 , что выше, чем 2 части на 10 13 для гелиево-неонового лазера, стабилизированного метаном, и чем 6 частей на 10 13 для водородного мазера.

Самой длинной мерой времени является кальпа в индуистской хронологии. Она равна 4320 млн лет. В астрономии космический год есть период обращения Солнца вокруг центра Млечного Пути, он равен 225 млн лет. В позднем меловом периоде (около 85 млн лет назад) Земля вращалась быстрее, в результате чего год состоял из 370,3 суток. Имеются также свидетельства тому, что в эпоху кембрия (600 млн лет назад) год длился более 425 суток.

Книга рекордов Гиннеса, 1998 г.