I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

x 1 +x 2 =-p; x 1 ∙x 2 =q.

Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.

Пример 1) x 2 -x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x 2 +px+q=0) , второй коэффициент p=-1 , а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.

Находим дискриминант D =b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121=11 2 .

Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p ), а произведение равно свободному члену, т.е. (q ). Тогда:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30 , а сумма – единице . Это числа -5 и 6 . Ответ: -5; 6.

Пример 2) x 2 +6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8 . Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D 1 D 1 =3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D 1 является полным квадратом числа 1 , значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6 , а произведение корней равно q=8 . Это числа -4 и -2 .

На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.

Пример 3) x 2 +2x-4=0 . В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2 , а свободный член q=-4 . Найдем дискриминант D 1 , так как второй коэффициент – четное число. D 1 =1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод : корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам ). Получаем:

Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x 1 =-7, x 2 =4.

Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x 2 +px+q=0 , причем, на основании теоремы Виета –p=x 1 +x 2 =-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2 =-7∙4=-28 . Тогда уравнение примет вид: x 2 +3x-28=0.

Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:

II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.

Сумма корней равна минус b , деленному на а , произведение корней равно с , деленному на а:

x 1 +x 2 =-b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

Пример 6). Найти сумму корней квадратного уравнения 2x 2 -7x-11=0 .

Решение.

Убеждаемся, что данное уравнение будет иметь корни. Для этого достаточно составить выражение для дискриминанта, и, не вычисляя его, просто убедиться, что дискриминант больше нуля. D =7 2 -4∙2∙(-11)>0 . А теперь воспользуемся теоремой Виета для полных квадратных уравнений.

x 1 +x 2 =-b:a =- (-7):2=3,5.

Пример 7) . Найдите произведение корней квадратного уравнения 3x 2 +8x-21=0.

Решение.

Найдем дискриминант D 1 , так как второй коэффициент (8 ) является четным числом. D 1 =4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Квадратное уравнение имеет 2 корня, по теореме Виета произведение корней x 1 ∙x 2 =c:a =-21:3=-7.

Страница 1 из 1 1

Определение суммы корней уравнения – один из нужных шагов при решении квадратных уравнений (уравнений вида ax² + bx + c = 0, где показатели a, b и c - произвольные числа, причем a ? 0) с поддержкой теоремы Виета.

Инструкция

1. Запишите квадратное уравнение в виде ax² + bx + c = 0Пример:Начальное уравнение: 12 + x²= 8xПравильно записанное уравнение: x² – 8x + 12 = 0

2. Примените теорему Виета, согласно которой, сумма корней уравнения будет равна числу “b”, взятому с обратным знаком, а их произведение – числу “c”.Пример:В рассматриваемом уравнении b=-8, c=12, соответственно:x1+x2=8×1∗x2=12

3. Узнайте, правильными либо негативными числами являются корни уравнений. Если и произведение и сумма корней – позитивные числа, весь из корней – правильное число. Если произведение корней – правильное, а сумма корней – негативное число, то оба корня – негативные. Если произведение корней – негативное, то корни один корень имеет знак “+”, а иной знак “-” В таком случае нужно воспользоваться дополнительным правилом: “Если сумма корней – позитивное число, больший по модулю корень тоже позитивный, а если сумма корней – негативное число – больший по модулю корень – негативный”.Пример:В рассматриваемом уравнении и сумма, и произведение – правильные числа: 8 и 12, значит оба корня – позитивные числа.

4. Решите полученную систему уравнений путем подбора корней. Комфортней будет начать подбор с множителей, а после этого, для проверки, подставить всякую пару множителей во второе уравнение и проверить, соответствует ли сумма данных корней решению.Пример:x1∗x2=12 Подходящими парами корней будут соответственно: 12 и 1, 6 и 2, 4 и 3Проверьте полученные пары с поддержкой уравнения x1+x2=8. Пары 12 + 1 ≠ 86 + 2 = 84 + 3 ≠ 8Соответственно корнями уравнения являются числа 6 и 8.

Уравнением называют равенство вида f(x,y,…)=g(x,y,..), где f и g функции одной либо нескольких переменных. Обнаружить корень уравнения – значит обнаружить такой комплект доводов, при котором это равенство выполняется.

Вам понадобится

Знания по математическому обзору.

Инструкция

1. Возможен, у вас имеется уравнение вида: x+2=x/5. Для начала перенесём все компоненты этого равенства из правой части в левую, поменяв при этом знак у компонента на противоположный. В правой части этого уравнения останется нуль, то есть, получим следующее: x+2-x/5 = 0.

2. Приведём сходственные слагаемые. Получим следующее: 4х/5 + 2 = 0.

3. Дальше из полученного приведённого уравнения найдём неведомое слагаемое, в данном случае это х. Полученное значение неведомой переменной и будет решением начального уравнения. В данном случае получим следующее: x = -2,5.

Видео по теме

Обратите внимание!
В итоге решения могу возникать лишние корни. Они не будут являться решением начального уравнения, даже если вы всё положительно решили. Непременно проверяйте все полученные решения.

Полезный совет
Полученные значения незнакомой неизменно проверяйте. Это дозволено примитивно сделать, подставив полученное значение в начальное уравнение. Если равенство правильно, то решение верное.

Теорема Виета устанавливает прямую связь между корнями (х1 и х2) и показателями (b и c, d) уравнения типа bx2+cx+d=0. C подмогой этой теоремы дозволено, не определяя значения корней, посчитать их сумму, дерзко говоря, в уме. В этом нет ничего трудного, основное – знать некоторые правила.

Вам понадобится

– калькулятор;
– бумага для записей.

Инструкция

1. Приведите к стандартному виду исследуемое квадратное уравнение, дабы все показатели степени шли по порядку убывания, то есть вначале наивысшая степень – х2, а в конце нулевая степень – х0. Уравнение примет вид: b*x2 + c*x1 + d*х0 = b*x2 + c*x + d = 0.

2. Проверьте неотрицательность дискриминанта. Это проверка нужна для того, дабы удостовериться, что корни у уравнения есть. D (дискриминант) принимает вид:D = c2 – 4*b*d. Тут есть несколько вариантов. D – дискриминант – правильный, что обозначает, что у уравнения есть два корня. D – равен нулю, из этого следует, что корень есть, но он двойственный, то есть х1=х2. D – негативный, для курса школьной алгебры это условие обозначает, что корней нет, для высшей математики – корни есть, но они комплексные.

3. Определите сумму корней уравнения. При помощи теоремы Виета это сделать легко: b*x2+c*x+d = 0. Сумма корней уравнения прямо пропорциональна «–c» и обратно пропорциональна показателю «b». А именно, x1+x2 = -c/b. Определите произведение корней по формулировке – произведение корней уравнения прямо пропорционально «d» и обратно пропорционально показателю «b»: х1*х2 = d/b.

Обратите внимание!
Если вы получили негативный дискриминант, это не значит, что корней нет. Это значит, что корнями уравнения являются так называемые комплексные корни. Теорема Виета применима и в этом случае, но ее вид будет немножко изменен: [-c+(-i)*(-c2 + 4*b*d)0.5]/ = x1,2

Полезный совет
Если вы столкнулись не с квадратным уравнением, а с кубическим либо уравнением степени n: b0*xn + b1*xn-1 +…..+ bn = 0, то для вычисления суммы либо произведения корней уравнения вы верно так же можете воспользоваться теоремой Виета:1. –b1/b0 = x1 + x2 + x3 +….+ xn,2. b2/b0 = x1*x2+….+xn-1*xn,3. (-1)n * (bn/b0) = x1*x2*x3*….*xn.

Если при подстановке числа в уравнение получается правильное равенство, такое число называют корнем. Корни могут быть правильными, негативными и нулевыми. Среди каждого множества корней уравнения выделяют максимальные и минимальные.

Инструкция

1. Обнаружьте все корни уравнения, среди них выберите негативный, если таковой имеется. Пускай, скажем, дано квадратное уравнение 2x?-3x+1=0. Примените формулу поиска корней квадратного уравнения: x(1,2)=/2=/2=/2, тогда x1=2, x2=1. Несложно подметить, что негативных среди них нет.

2. Обнаружить корни квадратного уравнения дозволено также при помощи теоремы Виета. Согласно этой теореме x1+x1=-b, x1?x2=c, где b и c – соответственно показатели уравнения x?+bx+c=0. Применяя эту теорему, дозволено не вычислять дискриминант b?-4ac, что в некоторых случаях может значительно упростить задачу.

3. Если в квадратном уравнении показатель при x четный, дозволено использовать не основную, а сокращенную формулу для поиска корней. Если основная формула выглядит как x(1,2)=[-b±?(b?-4ac)]/2a, то в сокращенном виде она записывается так: x(1,2)=[-b/2±?(b?/4-ac)]/a. Если в квадратном уравнении нет свободного члена, довольно легко перенести x за скобки. А изредка левая часть складывается в полный квадрат: x?+2x+1=(x+1)?.

4. Существуют виды уравнений, которые дают не одно число, а целое уйма решений. Скажем, тригонометрические уравнения. Так, результатом к уравнению 2sin?(2x)+5sin(2x)-3=0 будет x=?/4+?k, где k – целое число. То есть, при подстановке всякого целого значения параметра k довод x будет удовлетворять заданному уравнению.

5. В тригонометрических задачах может понадобиться обнаружить все негативные корни либо наивысший из негативных. В решении таких задач используются логические рассуждения либо способ математической индукции. Подставьте несколько целых значений для k в выражение x=?/4+?k и пронаблюдайте, как ведет себя довод. К слову, наибольшим негативным корнем в предыдущем уравнении будет x=-3?/4 при k=1.

Видео по теме

Обратите внимание!
В данном примере был рассмотрен вариант квадратного уравнения, в котором a=1. Для того дабы тем же методом решить полное квадратное уравнение, где a&ne 1, нужно составить вспомогательное уравнение, приведя “a” к единице.

Полезный совет
Используйте данный метод решения уравнений для того, дабы стремительно обнаружить корни. Также он поможет в случае, если вам нужно решить уравнение в уме, не прибегая к записям.

Урок 41. Свойство квадратных корней.

Составить таблицу, где собраны свойства и примеры на каждое свойство, в процессе объяснения.

Цели урока:

* Образовательные:

o изучить основные свойства квадратных корней,

o сформировать умение применять их для преобразования выражений, содержащих квадратные корни,

o научить вычислять значения квадратных корней.

* Воспитательная:

o воспитывать внимательность, аккуратность, настойчивость.

* Развивающие:

o развитие памяти,

o развитие умений преодолевать трудности,

o развитие навыков работы с учебником, справочными материалами.

Тип урока: комбинированный.

Формы и методы работы:

* фронтальный (устный счет),

* индивидуальная работа с дифференциацией (карточки, дидактический материал),

* эвристический.

Оборудование урока:

* таблица,

* карточки (4 варианта),

* дидактический материал,

* учебник (справочный материал на форзаце учебника).

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Сообщение цели урока и плана урока. (Изучить два свойства арифметического квадратного корня и научиться применять их для преобразования выражений, содержащих квадратный корень.)

На последних уроках Вы изучили новое понятие квадратного корня. В связи с этим наступила необходимость изучить свойства нового понятия. И так, целью нашего урока является изучение свойств квадратного корня, а так же научиться применять эти свойства при вычислениях.

II. Устный счет

III. Повторение

– Что называется арифметическим квадратным корнем из числа а? (Неотрицательное число, квадрат которого равен а. )

– Каким свойством арифметического квадратного корня вы пользовались?

– Вычислите, применив свойства степеней:https://pandia.ru/text/78/318/images/image004_99.gif" width="376" height="240">

Наводящие вопросы:

– Найдите значения выражений лев. и прав. части равенств.

– Сравните ответы. Какие выводы вы можете сделать?

Ответы: 1.Квадратный Корень из суммы чисел не равен сумме корней из этих

2.Корень из разности чисел не равен разности корней из данных чисел

3.Корень из произведения равен произведению корней из этих чисел.

4.Корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из

знаменателя (или корень из частного равен частному от корней).

– Подумайте, как можно записать верные равенства в буквенном виде.

(1). и 2).)

– Если равенства эти записать в буквенном виде, то какие ограничения накладываются на числа..gif" width="76" height="21 src=">) - два ученика записывают на доске, остальные в тетрадях слайд 3

– Итак, мы рассмотрели с Вами два свойства кв. корня, их еще коротко называют « корень из произведения и корень из дроби »

–В учебнике эти свойства записаны в виде теорем. Откройте, пожалуйста, учебник на стр.66,67 прочтите эти две теоремы.

– Примените эти свойства при вычислениях:

V. Закрепление.

Закрепление нового материала.

1. Решить задания из учебника № 14.3(а, б), 14.5(а, б), 14.11(а, б), 14.20(а, б), 14.23(а, б) с использованием свойств квадратных корней.

2. Используя определение квадратного корня, решите уравнения:

VI. Самостоятельная работа обучающего характера

Подведение итогов.

– Какие свойства мы с вами сегодня изучили?

(учащиеся формулируют свойства)

– Как найти корень из произведения? (Корень из произведения равен произведению корней.)

– Как найти корень из дроби? (Корень из чисел разделить на корень из знаменателя.)

– Может ли в знаменателе быть ноль? (Нет, на ноль делить нельзя.)

– Как найти корень из смешанной дроби? (Перевести в неправильную дробь и применить свойство арифметического квадратного корня.)

Выставление оценок в дневники.

– Урок окончен. Спасибо. До свидания.

VII. Домашнее задание: № 14,2, 14.6, в, г), 14.23(а, б) теория на стр.66-69.

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение .

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
- с помощью дискриминанта
- с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения $81x^2-16x-1=0$ ответ выводится в такой форме:

$$ x_1 = \frac{8+\sqrt{145}}{81}, \quad x_2 = \frac{8-\sqrt{145}}{81} $$ а не в такой: $x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05 $

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода квадратного многочлена

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: $x, y, z, a, b, c, o, p, q $ и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Результат: $3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} z + \frac{1}{7}z^2 $

При вводе выражения можно использовать скобки . В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Решить

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений
$-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac{4}{9}=0 $
имеет вид
$ax^2+bx+c=0, $
где x - переменная, a, b и c - числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = -7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями .

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x - переменная, a, b и c - некоторые числа, причём $a \neq 0 $.

Числа a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b - вторым коэффициентом и число c - свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где $a \neq 0 $, наибольшая степень переменной x - квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением . Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
$x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 $

Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением . Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 - неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где $c \neq 0 $;
2) ax 2 +bx=0, где $b \neq 0 $;
3) ax 2 =0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при $c \neq 0 $ переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
$x^2 = -\frac{c}{a} \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{ -\frac{c}{a}} $

Так как $c \neq 0 $, то $-\frac{c}{a} \neq 0 $

Если $-\frac{c}{a}>0 $, то уравнение имеет два корня.

Если $-\frac{c}{a} Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +bx=0 при \(b \neq 0 $ раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение
$x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ ax+b=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ x=-\frac{b}{a} \end{array} \right. $

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при $b \neq 0 $ всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
$x^2+\frac{b}{a}x +\frac{c}{a}=0 $

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
$x^2+2x \cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2- \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow $

$x^2+2x \cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a} \Rightarrow $ $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \Rightarrow \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \Rightarrow $ $x+\frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \Rightarrow x = -\frac{b}{2a} + \frac{ \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \Rightarrow $ $x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} $

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни - различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
$D = b^2-4ac $

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
$x_{1,2} = \frac{ -b \pm \sqrt{D} }{2a} $, где $D= b^2-4ac $

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень $x=-\frac{b}{2a} $.
3) Если D Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D При решении квадратного уравнения по данной формуле целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x 1 и x 2 приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
$\left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end{array} \right. $

Определение суммы корней уравнения - один из необходимых шагов при решении квадратных уравнений (уравнений вида ax²- + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c - произвольные числа, причем a 0) с помощью теоремы Виета.

Инструкция

Запишите квадратное уравнение в виде ax²- + bx + c = 0

Пример:
Исходное уравнение: 12 + x²-= 8x
Правильно записанное уравнение: x²- - 8x + 12 = 0

Примените теорему Виета, согласно которой, сумма корней уравнения будет равна числу "b", взятому с обратным знаком, а их произведение - числу "c".

Пример:
В рассматриваемом уравнении b=-8, c=12, соответственно:
x1+x2=8
x1&lowast-x2=12

Узнайте, положительными или отрицательными числами являются корни уравнений. Если и произведение и сумма корней - положительные числа, каждый из корней - положительное число. Если произведение корней - положительное, а сумма корней – отрицательное число, то оба – отрицательные. Если произведение корней – отрицательное, то корни один корень имеет знак "+", а другой знак "-" В таком случае необходимо воспользоваться дополнительным правилом: "Если сумма корней – положительное число, больший по модулю корень тоже положительный, а если сумма корней - отрицательное число - больший по модулю корень - отрицательный".

Пример:
В рассматриваемом уравнении и сумма, и произведение - положительные числа: 8 и 12, значит оба корня - положительные числа.

Решите полученную систему уравнений путем подбора корней. Удобней будет начать подбор с множителей, а затем, для проверки, подставить каждую пару множителей во второе уравнение и проверить, соответствует ли сумма данных корней решению.

Пример:
x1&lowast-x2=12
Подходящими парами корней будут соответственно: 12 и 1, 6 и 2, 4 и 3

Проверьте полученные пары с помощью уравнения x1+x2=8. Пары
12 + 1 &ne- 8
6 + 2 = 8
4 + 3 &ne- 8

Соответственно корнями уравнения являются числа 6 и 8.

Обратите внимание

В данном примере был рассмотрен вариант квадратного уравнения, в котором a=1. Для того чтобы тем же способом решить полное квадратное уравнение, где a&ne 1, необходимо составить вспомогательное уравнение, приведя "a" к единице.

Полезный совет

Используйте данный способ решения уравнений для того, чтобы быстро найти корни. Также он поможет в случае, если вам необходимо решить уравнение в уме, не прибегая к записям.

Внимание, только СЕГОДНЯ!

Все интересное

Квадратное уравнение имеет вид ax2+bx+c=0, где a, b и с – коэффициенты. Суть такого уравнения состоит в поиске всех возможных решений, т.е. нахождении значений неопределенного числа x. В итоге может получиться один или два ответа. Инструкция…

Освоив методы нахождения решения в случае работы с квадратными уравнениями, школьники сталкиваются с необходимостью подняться на более высокую степень. Однако этот переход не всегда кажется легким, и требование найти корни в уравнении четвертой…

Если при подстановке числа в уравнение получается верное равенство, такое число называют корнем. Корни могут быть положительными, отрицательными и нулевыми. Среди всего множества корней уравнения выделяют максимальные и минимальные. Инструкция …

Из курса школьной математики многие помнят, что корень – это решение уравнения, то есть те значения Х, при которых достигается равенство его частей. Как правило, задача нахождения модуля разности корней ставится в отношении квадратных уравнений,…

Вычисление дискриминанта – самый распространенный способ, применяемый в математике для решения квадратного уравнения. Формула для расчета является следствием метода выделения полного квадрата и позволяет быстро определить корни уравнения. …

При решении задач с параметрами главное – понять условие. Решить уравнение с параметром – значит записать ответ для любого из возможных значений параметра. Ответ должен отражать перебор всей числовой прямой. Инструкция 1Простейший тип задач с…

Решение большинства уравнений высших степеней не имеет четкой формулы, как нахождение корней квадратного уравнения. Однако существует несколько способов приведения, которые позволяют преобразовать уравнение высшей степени к более наглядному виду. …

Для решения квадратного уравнения и нахождения его наименьшего корня вычисляется дискриминант. Дискриминант будет равен нулю лишь в том случае, если многочлен имеет кратные корни. Вам понадобится- математический справочник;-…

Теорема Виета устанавливает прямую взаимосвязь между корнями (х1 и х2) и коэффициентами (b и c, d) уравнения типа bx2+cx+d=0. C помощью этой теоремы можно, не определяя значения корней, посчитать их сумму, грубо говоря, в уме. В этом нет ничего…

Квадратным уравнением называют уравнение вида A · x + B · x + C. Такое уравнение может иметь два корня, один корень, или не иметь корней вовсе. Чтобы разложить квадратное уравнение на множители, используют следствие из теоремы Безу либо просто…

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax^2+bx+c=0 (знак «^» обозначает возведение в степень, т.е. данном случае во вторую). Разновидностей уравнения довольно-таки много, поэтому каждому требуется свое решение. Инструкция 1Пусть…

Чтобы дать определение корню уравнения, необходимо разобраться с понятием уравнения как такового. Интуитивно несложно догадаться, что уравнение – это равенство двух величин. Под корнем уравнения понимают значение неизвестной составляющей. Чтобы…